回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。運(yùn)用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。

方差齊性

線性關(guān)系

效應(yīng)累加

變量無測量誤差

變量服從多元正態(tài)分布

觀察獨(dú)立

模型完整（沒有包含不該進(jìn)入的變量、也沒有漏掉應(yīng)該進(jìn)入的變量）

誤差項(xiàng)獨(dú)立且服從（0,1）正態(tài)分布。

現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)常常不能完全符合上述假定。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究出許多的回歸模型來解決線性回歸模型假定過程的約束。

研究一 個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量Y1 ，Y2 ，…，Yi與另一些變量X1、X2，…，Xk之間的關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。又稱多重回歸分析。通常稱Y1，Y2，…，Yi為因變量，X1、X2，…，Xk為自變量。回歸分析是一類數(shù)學(xué)模型，特別當(dāng)因變量和自變量為線性關(guān)系時(shí)，它是一種特殊的線性模型。最簡單的情形是一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且它們大體上有線性關(guān)系，這叫一元線性回歸，即模型為Y＝a＋bX＋ε，這里X是自變量，Y是因變量，ε是隨機(jī)誤差，通常假定隨機(jī)誤差的均值為0，方差為σ^2（σ^2大于0）σ2與X的值無關(guān)。若進(jìn)一步假定隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布，就叫做正態(tài)線性模型。一般的情形，差有k個(gè)自變量和一個(gè)因變量，因變量的值可以分解為兩部分：一部分是由自變量的影響，即表示為自變量的函數(shù)，其中函數(shù)形式已知，但含一些未知參數(shù)；另一部分是由于其他未被考慮的因素和隨機(jī)性的影響，即隨機(jī)誤差。當(dāng)函數(shù)形式為未知參數(shù)的線性函數(shù)時(shí)，稱線性回歸分析模型；當(dāng)函數(shù)形式為未知參數(shù)的非線性函數(shù)時(shí)，稱為非線性回歸分析模型。當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)大于1時(shí)稱為多元回歸，當(dāng)因變量個(gè)數(shù)大于1時(shí)稱為多重回歸。

回歸分析的主要內(nèi)容為：①從一組數(shù)據(jù)出發(fā)確定某些變量之間的定量關(guān)系式，即建立數(shù)學(xué)模型并估計(jì)其中的未知參數(shù)。估計(jì)參數(shù)的常用方法是最小二乘法。②對這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行檢驗(yàn)。③在許多自變量共同影響著一個(gè)因變量的關(guān)系中，判斷哪個(gè)（或哪些）自變量的影響是顯著的，哪些自變量的影響是不顯著的，將影響顯著的自變量選入模型中，而剔除影響不顯著的變量，通常用逐步回歸、向前回歸和向后回歸等方法。④利用所求的關(guān)系式對某一生產(chǎn)過程進(jìn)行預(yù)測或控制。回歸分析的應(yīng)用是非常廣泛的，統(tǒng)計(jì)軟件包使各種回歸方法計(jì)算十分方便。

回歸分析的應(yīng)用

相關(guān)分析研究的是現(xiàn)象之間是否相關(guān)、相關(guān)的方向和密切程度，一般不區(qū)別自變量或因變量。而回歸分析則要分析現(xiàn)象之間相關(guān)的具體形式，確定其因果關(guān)系，并用數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)其具體關(guān)系。比如說，從相關(guān)分析中我們可以得知“質(zhì)量”和“用戶滿意度”變量密切相關(guān)，但是這兩個(gè)變量之間到底是哪個(gè)變量受哪個(gè)變量的影響，影響程度如何，則需要通過回歸分析方法來確定。

一般來說，回歸分析是通過規(guī)定因變量和自變量來確定變量之間的因果關(guān)系，建立回歸模型，并根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)來求解模型的各個(gè)參數(shù)，然后評價(jià)回歸模型是否能夠很好的擬合實(shí)測數(shù)據(jù)；如果能夠很好的擬合，則可以根據(jù)自變量作進(jìn)一步預(yù)測。

例如，如果要研究質(zhì)量和用戶滿意度之間的因果關(guān)系，從實(shí)踐意義上講，產(chǎn)品質(zhì)量會(huì)影響用戶的滿意情況，因此設(shè)用戶滿意度為因變量，記為Y；質(zhì)量為自變量，記為X。根據(jù)圖8－3的散點(diǎn)圖，可以建立下面的線性關(guān)系：

Y=A+BX+§

式中：A和B為待定參數(shù)，A為回歸直線的截距；B為回歸直線的斜率，表示X變化一個(gè)單位時(shí)，Y的平均變化情況；§為依賴于用戶滿意度的隨機(jī)誤差項(xiàng)。

在SPSS軟件里可以很容易地實(shí)現(xiàn)線性回歸，回歸方程如下：

y=0.857+0.836x 

回歸直線在y軸上的截距為0.857、斜率0.836，即質(zhì)量每提高一分，用戶滿意度平均上升0.836分；或者說質(zhì)量每提高1分對用戶滿意度的貢獻(xiàn)是0.836分。

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上面所示的例子是簡單的一個(gè)自變量的線性回歸問題，在數(shù)據(jù)分析的時(shí)候，也可以將此推廣到多個(gè)自變量的多元回歸，具體的回歸過程和意義請參考相關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍。此外，在SPSS的結(jié)果輸出里，還可以匯報(bào)R2，F(xiàn)檢驗(yàn)值和T檢驗(yàn)值。R2又稱為方程的確定性系數(shù)（coefficient of determination），表示方程中變量X對Y的解釋程度。R2取值在0到1之間，越接近1，表明方程中X對Y的解釋能力越強(qiáng)。通常將R2乘以100％來表示回歸方程解釋Y變化的百分比。F檢驗(yàn)是通過方差分析表輸出的，通過顯著性水平（significant level）檢驗(yàn)回歸方程的線性關(guān)系是否顯著。一般來說，顯著性水平在0.05以下，均有意義。當(dāng)F檢驗(yàn)通過時(shí)，意味著方程中至少有一個(gè)回歸系數(shù)是顯著的，但是并不一定所有的回歸系數(shù)都是顯著的，這樣就需要通過T檢驗(yàn)來驗(yàn)證回歸系數(shù)的顯著性。同樣地，T檢驗(yàn)可以通過顯著性水平或查表來確定。在上面所示的例子中，各參數(shù)的意義如表8－2所示。

表8－2 線性回歸方程檢驗(yàn)指標(biāo) 顯著性水平 意義 

R 0.89 “質(zhì)量”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度

F 276.82 0.001 回歸方程的線性關(guān)系顯著 

T 16.64 0.001 回歸方程的系數(shù)顯著 

示例 SIM手機(jī)用戶滿意度與相關(guān)變量線性回歸分析

我們以SIM手機(jī)的用戶滿意度與相關(guān)變量的線性回歸分析為例，來進(jìn)一步說明線性回歸的應(yīng)用。從實(shí)踐意義講上，手機(jī)的用戶滿意度應(yīng)該與產(chǎn)品的質(zhì)量、價(jià)格和形象有關(guān)，因此我們以“用戶滿意度”為因變量，“質(zhì)量”、“形象”和“價(jià)格”為自變量，作線性回歸分析。利用SPSS軟件的回歸分析，得到回歸方程如下：

用戶滿意度＝0.008×形象＋0.645×質(zhì)量＋0.221×價(jià)格

對于SIM手機(jī)來說，質(zhì)量對其用戶滿意度的貢獻(xiàn)比較大，質(zhì)量每提高1分，用戶滿意度將提高0.645分；其次是價(jià)格，用戶對價(jià)格的評價(jià)每提高1分，其滿意度將提高0.221分；而形象對產(chǎn)品用戶滿意度的貢獻(xiàn)相對較小，形象每提高1分，用戶滿意度僅提高0.008分。

方程各檢驗(yàn)指標(biāo)及含義如下：

指標(biāo) 顯著性水平 意義 

R2 0.89 “質(zhì)量”和“形象”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度 

F 248.53 0.001 回歸方程的線性關(guān)系顯著 

T（形象） 0.00 1.000 “形象”變量對回歸方程幾乎沒有貢獻(xiàn) 

T（質(zhì)量） 13.93 0.001 “質(zhì)量”對回歸方程有很大貢獻(xiàn) 

T（價(jià)格） 5.00 0.001 “價(jià)格”對回歸方程有很大貢獻(xiàn) 

從方程的檢驗(yàn)指標(biāo)來看，“形象”對整個(gè)回歸方程的貢獻(xiàn)不大，應(yīng)予以刪除。所以重新做“用戶滿意度”與“質(zhì)量”、“價(jià)格”的回歸方程如下：

用戶滿意度＝0.645×質(zhì)量＋0.221×價(jià)格

對于SIM手機(jī)來說，質(zhì)量對其用戶滿意度的貢獻(xiàn)比較大，質(zhì)量每提高1分，用戶滿意度將提高0.645分；用戶對價(jià)格的評價(jià)每提高1分，其滿意度將提高0.221分（在本示例中，因?yàn)椤靶蜗蟆睂Ψ匠處缀鯖]有貢獻(xiàn)，所以得到的方程與前面的回歸方程系數(shù)差不多）。

方程各檢驗(yàn)指標(biāo)及含義如下：

指標(biāo) 顯著性水平 意義 

R 0.89 “質(zhì)量”和“形象”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度 

F 374.69 0.001 回歸方程的線性關(guān)系顯著 

T（質(zhì)量） 15.15 0.001 “質(zhì)量”對回歸方程有很大貢獻(xiàn) 

T（價(jià)格） 5.06 0.001 “價(jià)格”對回歸方程有很大貢獻(xiàn)