一、問(wèn)題的提出
在科學(xué)研究或日常生活中，常常需要判斷某一事物在同類(lèi)事物中的好壞、優(yōu)劣程度及其發(fā)展規(guī)律等問(wèn)題。而影響事物的特征及其發(fā)展規(guī)律的因素（指標(biāo)）是多方面的，因此，在對(duì)該事物進(jìn)行研究時(shí)，為了能更全面、準(zhǔn)確地反映出它的特征及其發(fā)展規(guī)律，就不應(yīng)僅從單個(gè)指標(biāo)或單方面去評(píng)價(jià)它，而應(yīng)考慮到與其有關(guān)的多方面的因素，即研究中需要引入更多的與該事物有關(guān)系的變量，來(lái)對(duì)其進(jìn)行綜合分析和評(píng)價(jià)。多變量大樣本資料無(wú)疑能給研究人員或決策者提供很多有價(jià)值的信息，但在分析處理多變量問(wèn)題，由于眾變量之間往往存在一定的相關(guān)性，使得觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)所反映的信息存在重疊現(xiàn)象。因此為了盡量避免信息重疊和減輕工作量，人們就往往希望能找出少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的綜合變量來(lái)盡可能地反映原來(lái)數(shù)據(jù)所含有的絕大部分信息。而主成分分析和因子分析正是為解決此類(lèi)問(wèn)題而產(chǎn)生的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。
近年來(lái)，這兩種方法在社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題研究中的應(yīng)用越來(lái)越多，其應(yīng)用范圍也愈加廣泛。因子分析是主成分分析的推廣和發(fā)展，二者之間就勢(shì)必有著許多共同之處，而 SPSS軟件不能直接進(jìn)行主成分分析，致使一些應(yīng)用者在使用SPSS進(jìn)行這兩種方法的分析時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)一些混淆性的錯(cuò)誤，這難免會(huì)使人們對(duì)分析結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)疑。因此，有必要在運(yùn)用SPSS分析時(shí)，將這兩種方法加以嚴(yán)格區(qū)分，并針對(duì)實(shí)際問(wèn)題選擇正確的方法。
二、主成分分析與因子分析的聯(lián)系與區(qū)別
兩種方法的出發(fā)點(diǎn)都是變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，在損失較少信息的前提下，把多個(gè)變量（這些變量之間要求存在較強(qiáng)的相關(guān)性，以保證能從原始變量中提取主成分）綜合成少數(shù)幾個(gè)綜合變量來(lái)研究總體各方面信息的多元統(tǒng)計(jì)方法，且這少數(shù)幾個(gè)綜合變量所代表的信息不能重疊，即變量間不相關(guān)。
主要區(qū)別：
1. 主成分分析是通過(guò)變量變換把注意力集中在具有較大變差的那些主成分上，而舍棄那些變差小的主成分；因子分析是因子模型把注意力集中在少數(shù)不可觀(guān)測(cè)的潛在變量（即公共因子）上，而舍棄特殊因子。
2. 主成分分析是將主成分表示為原觀(guān)測(cè)變量的線(xiàn)性組合，
（1）
主成分的個(gè)數(shù)i=原變量的個(gè)數(shù)p，其中j=1,2,…,p，
是相關(guān)矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣中的元素， 是原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，均值為0，方差為1。其實(shí)質(zhì)是p維空間的坐標(biāo)變換，不改變?cè)紨?shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。
而因子分析則是對(duì)原觀(guān)測(cè)變量分解成公共因子和特殊因子兩部分。因子模型如式（2），
（2）
其中i=1,2,…,p, m<p ，m是公共因子個(gè)數(shù)，p是原始變量個(gè)數(shù)， 
是因子分析過(guò)程中的初始因子載荷矩陣中的元素, 
是第j個(gè)公共因子，
是第i個(gè)原觀(guān)測(cè)變量的特殊因子。且此處的
與的均值都為0，方差都為1。
3. 主成分的各系數(shù)，是唯一確定的、正交的。不可以對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行任何的旋轉(zhuǎn)，且系數(shù)大小并不代表原變量與主成分的相關(guān)程度；而因子模型的系數(shù)矩陣是不唯一的、可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的，且該矩陣表明了原變量和公共因子的相關(guān)程度。
4. 主成分分析，可以通過(guò)可觀(guān)測(cè)的原變量X直接求得主成分Y，并具有可逆性；因子分析中的載荷矩陣是不可逆的，只能通過(guò)可觀(guān)測(cè)的原變量去估計(jì)不可觀(guān)測(cè)的公共因子，即公共因子得分的估計(jì)值等于因子得分系數(shù)矩陣與原觀(guān)測(cè)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣相乘的結(jié)果。還有，主成分分析不可以像因子分析那樣進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)處理。
5.綜合排名。主成分分析一般依據(jù)第一主成分的得分排名，若第一主成分不能完全代替原始變量，則需要繼續(xù)選擇第二個(gè)主成分、第三個(gè)等等，此時(shí)綜合得分=∑（各主成分得分×各主成分所對(duì)應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率）,主成分得分是將原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值，代入主成分表達(dá)式中計(jì)算得到；而因子分析的綜合得分=∑（各因子得分×各因子所對(duì)應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率）÷∑各因子的方差貢獻(xiàn)率，因子得分是將原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值，代入因子得分函數(shù)中計(jì)算得到。
區(qū)別中存聯(lián)系，聯(lián)系中顯區(qū)別
由于上文提到主成分可表示為原觀(guān)測(cè)變量的線(xiàn)性組合，其系數(shù)為原始變量相關(guān)矩陣的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，且這些特征向量正交，因此，從X到Y(jié)的轉(zhuǎn)換關(guān)系是可逆的，便得到如下的關(guān)系：
（3）
下面對(duì)其只保留前m個(gè)主成分（貢獻(xiàn)大），舍棄剩下貢獻(xiàn)很小的主成分，得：
i=1,2,...p （4）
由此可見(jiàn)，式（4）在形式上已經(jīng)與因子模型（2）忽略特殊因子后的模型即：
（2）*
相一致，且
（j=1,2,…,m）之間相互獨(dú)立。由于模型（2）*是因子分析中未進(jìn)行因子載荷旋轉(zhuǎn)時(shí)建立的模型，故如果不進(jìn)行因子載荷旋轉(zhuǎn)，許多應(yīng)用者將容易把此時(shí)的因子分析理解成主成分分析，這顯然是不正確的。
然而此時(shí)的主成分的系數(shù)陣即特征向量與因子載荷矩陣確實(shí)存在如下關(guān)系：
主成分分析中，主成分的方差等于原始數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣的特征根，其標(biāo)準(zhǔn)差也即特征根的平方根
，于是可以將除以其標(biāo)準(zhǔn)差（單位化）后轉(zhuǎn)化成合適的公因子，即令
，
，則式（4）變?yōu)椋?br style="FONT-SIZE: 14px; FONT-FAMILY: 微軟雅黑; WHITE-SPACE: normal; WORD-SPACING: 0px; TEXT-TRANSFORM: none; FONT-WEIGHT: normal; COLOR: rgb(85,85,85); PADDING-BOTTOM: 0px; FONT-STYLE: normal; TEXT-ALIGN: left; PADDING-TOP: 0px; PADDING-LEFT: 0px; ORPHANS: 2; WIDOWS: 2; MARGIN: 0px; LETTER-SPACING: normal; PADDING-RIGHT: 0px; BACKGROUND-COLOR: rgb(255,255,255); TEXT-INDENT: 0px; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; -webkit-text-stroke-width: 0px"/>
（4）*
可得， 
（5）
式（5）便是主成分系數(shù)矩陣與初始因子載荷陣之間的聯(lián)系。不能簡(jiǎn)單地將初始因子載荷矩陣認(rèn)為是主成分系數(shù)矩陣（特征向量矩陣），否則會(huì)造成偏差。
三、實(shí)證分析
通過(guò)實(shí)例來(lái)研究SPSS軟件中的因子分析和主成分分析及二者分析結(jié)果的比較。運(yùn)用兩種分析方法對(duì)2005年江蘇省13個(gè)主要城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平進(jìn)行分析。
本文在選取指標(biāo)時(shí)遵循了指標(biāo)選取的基本原則，即針對(duì)性、可操作性、層次性、全面性等原則，選取了以下反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平的9項(xiàng)指標(biāo)： GDP(X1)億元 、人均GDP (X2) 元 、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入(X3)元、農(nóng)村居民純收入(X4) 元、第三產(chǎn)業(yè)占GDP比重(X5)%、金融機(jī)構(gòu)存款余額（X6）億元、萬(wàn)人中各專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員數(shù)(X7)人、科技三項(xiàng)和文教科衛(wèi)支出（X8）億元、實(shí)際利用外資(X9) 億美元。
